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2012福建高考文科数学模拟题(责编推荐:中考试题jxfudao.com)

时间:2018-03-13 06:00来源:网络整理 作者:游客 点击:
2012 福建高考文科数学模仿题 1. 设复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? b i ,若z1 z2为纯虚数,则实数 b ?A. ? 2 B. 2 C. ? 1 D. 1 2. 设 a, b 都长短零向量,若


2012 福建高考文科数学模仿题 1. 设复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? b i ,若
z1 z2

为纯虚数,则实数 b ?

A. ? 2 B. 2 C. ? 1 D. 1 2. 设 a, b 都长短零向量,若函数 f ( x ) ? ( x a ? b ) ?( a ? x b ) ( x ? R)是偶函数,则必有 A. a ⊥ b B.a∥b C. | a | ? | b | D. | a | ? | b | 3. a ? 3 是直线 a x ? 2 y ? 3 a ? 0 和直线 3 x ? ( a ? 1) y ? a ? 7 平行的 A.充实不须要前提 B.须要不充实前提 C.充要前提 D.既不充实又不须要前提 4. 设函数 f ( x ) ?
? x ? 2 x ? 1 5 ,荟萃 A ?
2

?x

y ? f ( x )? , B ?

?y

y ? f ( x )? ,

A

B

则右图中阴影部门暗示的荟萃为 A. [0 , 3] B. ( 0 , 3 ) C. ( ? 5, 0 ] ? [3, 4 ) 5. 把函数 y ? sin( x ? 向右平移
?
3

D. [ ? 5, 0 ) ? (3, 4 ]
1 2

?
6

) 图象上各点的横坐标收缩到原本的

倍(纵坐标稳固) ,再将图象


?
2

单元,那么所得图象的一条对称轴方程为 A. x ? ? B. x ? ?
?
4

C. x ?

?
8

D. x ?

?
4

6. 已知 a , b 为两条差异的直线, ? , ? 为两个差异的平面,且 a ? ? , b ? ? ,则下列命题 中的假命题是 A.若 a ∥ b ,则 ? ∥ ? B.若 ? ? ? ,则 a ? b C.若 a , b 相交,则 ? , ? 相交 D.若 ? , ? 相交,则 a , b 相交 7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲适才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b ,个中 a , b ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? ,若 a ? b ? 1 ,就称甲乙“心有灵 犀”. 现恣意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 A.
1 9 2 9 7 18 4 9

B.

C.
3 2? x ? 3 2? y

D.

8.设 x 、y 均为正实数,且

? 1 ,则 xy 的最小值为(



9 在等差数列 { a n } 中,若 a 1 0 0 4 ? a1 0 0 5 ? a1 0 0 6 ? 3 ,则该数列的前 2009 项的和为( A.3000 B.2009 C.2008 D. 2007 )



10.已知对数函数 f ( x ) ? lo g a x 是增函数,则函数 f (| x | ? 1) 的图象大抵是(

11.已知函数 f ( n ) ? n co s( n ? ) ,且 a n ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 1 0 0 ?
2

A.0

B. ? 1 0 0
x a
2 2

C.100
? y b
2 2

D.10200

12.已知 F1 、F2 别离是双曲线

? 1 (a>0,b>0)的左、右核心,P 为双曲线上的一

点, 若 ? F1 PF 2 ? 90 ? ,且 ? F1 PF 2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( )

A.2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题: 13.圆柱形容器的内壁底半径是 1 0 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中, 若取出这个铁球,测得容器的水面降落了
cm .
2

5 3

cm,则这个铁球的外貌积为

14. 在如下措施框图中,已知: 开始 输入f 0 (x )

f 0 ( x ) ? xe

x

,则输出的是_________
i ? i?1
fi (x) ? f
' i ?1

_.
(x)

i? 0

竣事



i =2009



输出 f i (x)

15.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,且对恣意 x ? R 都有 ; f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? f (3) 创立,则 f (3) ? . f ( 2009 ) ? 16.在计较“ 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ( n ? 1) ”时,某同窗学到了如下一种要领:先改写第 k 项:
k ( k ? 1) ? 1? 2 ? 2?3 ? 1 3 1 3 ( 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3), 1 3 (1 ? 2 ? 3 ? 0 ? 1 ? 2 ), [ k ( k ? 1)( k ? 2 ) ? ( k ? 1) k ( k ? 1)], 由此得


n ( n ? 1) ? 1 3 [ n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1) n ( n ? 1)]. 1

相加,得 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ( n ? 1) ?

n ( n ? 1)( n ? 2 ). 3 类比上述要领, 请你计较“ 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ”, 其功效为



三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 设向量 a ? (sin x , co s x ) , b ? (sin x , 3 sin x ) , x ? R ,函数 f ( x ) ? a ?( a ? 2 b ) . (1) 求函数 f ( x ) 的最大值与单调递增区间; (2) 求使不等式 f ? ( x ) ? 2 创立的 x 的取值荟萃. 18..某公司欲将一批不易存放的蔬菜,急需从 A 地运到 B 地,有汽车、火车、直升飞机 三种运输器材可供选择,三种运输器材的首要参考数据如下: 运输器材 途中速率 途中用度 装卸时刻 装卸用度 (千米/小时) (元/千米) (小时) (元) 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 2000

飞机 200 16 2 1000 若这批蔬菜在运输进程(含装卸时刻)中的消费为 300 元/小时,问回收哪 种运输器材 较量好,即运输进程中的用度与消费之和最小.

19.(本小题满分 14 分) 四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 底面 A B C D ,且 P A ? A B ? A D ?
? AD C ? 90? .
1 2 C D , A B // C D ,

(1) 在侧棱 P C 上是否存在一点 Q ,使 B Q // 平面 P A D ?证明你的结论; (2) 求证:平面 P B C ? 平面 P C D ; (3) 求平面 P A D 与平面 P B C 所成锐二面角的余弦值. P D Q C

A

B

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? lo g k x ( k 为常数, k ? 0 且 k ? 1 ) ,且数列 ? f ( a n )? 是首项为 4,公 差为 2 的等差 数列. (1) 求证:数列 ? a n ? 是等比数列; (2) 若 b n ? a n ? f ( a n ) ,当 k ?
2 时,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n ;

21.(本小题满分 14 分) 如图, F 是椭圆 设 轴交于 P 点,
M N 为椭圆的长轴,已知 M N ? 8 ,且 | P M | ? 2 | M F | .
y

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1, ( a ? b ? 0 ) 的左核心, 直线 l 为对应的准线, 直线 l 与 x

(1) 求椭圆的尺度方程; (2) 求证:对付恣意的割线 P A B ,恒有 ? A F M ? ? B F N ; (3) 求三角形△ABF 面积的最大值.
P
l
M

B A F
O
N

x

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0 ) . (1) 求函数 f ( x ) 的最小值;
2 (2) 设 F ( x ) ? a x ? f ? ( x ) ( a ? R ) ,接头函数 F ( x ) 的单调性;

(3) 斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ? ( x ) 交于 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 两点,求证:
x1 ? 1 k ? x2 .

谜底及具体理会 1. A.
z1 z2 ? 1? i 2 ? bi ? (1 ? i )( 2 ? b i ) 4?b
2

?

( 2 ? b ) ? ( 2 ? b )i 4?b
2
2

为纯虚数,得 2 ? b ? 0 ,即 b ? ? 2 .

2. C. f ( x ) ? ( x a ? b ) ?( a ? x b ) ? ( ? a ?b ) x ? ( a ? b ) x ? a ?b 为偶函数,得 f ( ? x ) ? f ( x ) 恒创立,
2 2
2 2 故 a ? b ? 0 ,即 a

2

? b

2

,故 | a | ? | b | .

3.C. 当 a ? 3 时,直线 3 x ? 2 y ? 9 ? 0 和直线 3 x ? 2 y ? ? 4 平行;反之,若两直线平行, 则它们 的斜率相称,得 ?
a 2 ? ? 3 a ?1

,解得: a ? 3 或 a ? ? 2 . 但检讨知,当 a ? ? 2 时,直线

? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 3 x ? 3 y ? ? 9 重合. 故 a ? 3 是这两直线平行的充要前提.
2 2 4.D.由 ? x ? 2 x ? 1 5 ? 0 即 x ? 2 x ? 1 5 ? 0 ,得 ? 5 ? x ? 3 ,故 A ? [ ? 5, 3] .

由 f (x) ?

? x ? 2 x ? 15 ?
2

? ( x ? 1) ? 1 6 ? [0 , 4 ] ,得 B ? [0 , 4 ] . 从而 A ? B ? [ ? 5, 4] ,
2

A ? B ? [0, 3] .

阴 影 部 分 表 示 由 在 A ? B 内 且 不 在 A ? B 内 的 元 素 构 成 的 集 合 , 故 答 案 选 D.5 . A.
y ? sin( x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标收缩到原本的
)

1 2

倍(纵坐标稳固) 获得函数 ,
?
3

y ? s in ( 2 x ?

?
6

; 再 将 图 象 向 右 平 移
)?

个 单 位 , 得 函 数

y ? s in [ 2 ( x ?

?
3

?
6

] ? s in ( 2 x ?

?
2

) ,x ? ?

?
2

是其图象的一条对称轴方程.

6.D 若 ? , ? 相交,则 a , b 也许相交,也也许异面,故 D 为假命题. 7.D. 恣意找两人玩这个游戏,共有 6 ? 6 ? 3 6 中猜字功效,个中满意 a ? b ? 1 的有如下情 形: ① 若a ? 1 , b ? 1 则 , 2 则 b ? 3, 4, 5 ;
16 36 4 9

; 若a ? 2 , b ? 1 ② 则 ,3 2 ,

; 若a ? 3 , b ? 2 ③ 则 3 ,4

; 若a ? 4 , ④

⑤ 若 a ? 5 ,则 b ? 4, 5, 6 ;⑥ 若 a ? 6 ,则 b ? 5, 6 ,总共 16 种,故他们“心有灵犀”的 概率为 P ?
?

.
3 3 2? y

8.D.理会:由

2? x

?

? 1 可 化 为 xy =8+x+y, ? x , y 均 为 正 实 数 , ?

xy

=8+x+y ? 8 ? 2 xy (当且仅当 x=y 等号创立)即 xy-2 xy ? 16 故 xy 的最小值为 16.

xy -8 ? 0 ,可解得

xy ? 4 ,即

办理本题的要害是先变形,再操作根基不等式 a b ? 的不等式.

a?b 2

( a ? 0 , b ? 0 ) 来结构一个新

9. 理会: a 1 0 0 4 ? a1 0 0 5 ? a1 0 0 6 ? 3 得 a 1 0 0 5 ? 1 , C. 由 从而 S 2 0 0 9 ?

a1 ? a 2 0 0 9 2

? 2009 ? 2009 ,



C.若直接用通项公式和求和公式求解较伟大,解答中应用等差数列的性子 a m + a n = a p +
a q ,结论奇妙发生,进程简便,运算简朴.

10B. f (| x | ? 1) ? lo g a (| x | ? 1) ? ?
a ? 1 .故选 B.

? lo g a ( x ? 1), x ? 0 ? lo g a [ ? ( x ? 1)], x ? 0 .

由函数 f ( x ) ? lo g a x 是增函数知,

11.B. f ( n ) ? n c o s ( n ? ) ? ?
2

? ? n ( n为 奇 数 ) ? n 2 ? ( ? 1) ? n , 2 ? n ( n为 偶 数 ) ?
2
2 n ?1


a n ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? ( ? 1) ? n ? ( ? 1)
n

? ( n ? 1) ? ( ? 1) [ n ? ( n ? 1) ] ? ( ? 1)
2 n 2 2

n ?1

? ( 2 n ? 1)

,得
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 1 0 0 ? 3 ? ( ? 5) ? 7 ? ( ? 9 ) ? ? ? 1 9 9 ? ( ? 2 0 1) ? 5 0 ? ( ? 2 ) ? ? 1 0 0 .
? m ? n ? 2a ? 2 2 12.D.理会:设|PF1|=m, |PF2|=n,不妨设 P 在第一象限,则由已知得 ? m ? n ? (2c) ? n ? 2c ? 2m ?

2

? 5a -6ac+c =0 ? e -6e+5=0,解得 e=5 或 e=1(舍去) ,选 D.

2

2

2

二、填空题:
3 2 13. 1 0 0 ? .设实心铁球的半径为 R ,则 ? R ? ? ? 1 0 ?

4 3

5 3

,得 R ? 5 ,故这个铁球的外貌

积为 S ? 4 ? R ? 1 0 0 ? c m . 14. 由 f 1 ( x ) ? ( xe x ) ' ? e x ? xe x ,
2 2

f 2 ( x ) ? f 1 '( x ) ? 2 e ? xe , ? f 2 0 0 9 ( x ) ? 2 0 0 9 e ? xe
x x x

x

.

若 a ? 3 , 则 输 出 的 T ? 1 ? 2 ? 2 , 若 输 出 的 T ? 1 2 0 ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 则 , n ? 5 ? 1 ? 6, 故 a 的值为 6 . 15. 0 ; ? 2 . 在 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? f (3) 中 , 令 x ? ? 3 , 得 f ( 3 )? f ( 3 ) f ( 3 ) 即 , ? ? , f ( ? 3 )? 0 又 f ( x ) 是 R 上的奇函数,故 f (3) ? 0 ,故 f (x ? 6) ? f ( x) ,知 f ( x ) 是周期为 6 的周期函 数,从而 f ( 2009 ) ? f ( 6 ? 334 ? 5 ) ? f ( 5 ) ? f ( ? 1) ? ? f (1) ? ? 2 . 11. 2 ; 6 16.
1 4 n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 1 4 n ( n ? 1)( n ? 2 )( n ? 3) .理会: 1 ? 2 ? 3 ? 1 4 [ n ( n ? 1)( n ? 2 )( n ? 3) ? ( n ? 1) n ( n ? 1)( n ? 2 )]. 用累加的要领即得功效. (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3), ,

三、解答题 17. 解 (1)
f ( x ) ? a ?( a ? 2 b ) ? a ? 2 a ?b
2

? sin x ? co s x ? 2 (sin x ?
2 2 2

3 sin x co s x )

? 1 ? 1 ? cos 2 x ?

3 s in 2 x ? 2 ? 2 (s in 2 x ?

3 2

? cos 2 x ?

1 2

)

? 2 ? 2 (s in 2 x c o s

?
6

? c o s 2 x s in

?
6

) ? 2 ? 2 s in ( 2 x ?
? 2k? ?

?
6

).

∴当 s in ( 2 x ?
? x ? k? ?

?
6

) ? 1 时, f ( x )

取得最大值 4 .由 2 k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?
2

, k? ? 得

?
6

?
3

∴ (k ? Z ) , f ( x)

的单调递增区间为 [ k ? ? (2)

?
6

, k? ?

?
3

] (k ? Z ) . f ?( x ) ? 4 c o ?x ( 2 . s 6

由 f ( x ) ? 2 ? 2 s in ( 2 x ?
?
? 1 2 ) ,则 2 k ? ?

?
6

) , 得

?

由 )f ? ( x ) ? 2 , 得
?
4
(k ? Z ) .

c o s x (? 2 6

?
3

? 2x?

?
6

? 2 k? ?

?
3

,即 k ? ?
?
12

?
12

? x ? k? ?

∴使不等式 f ? ( x ) ? 2 创立的 x 的取值荟萃为 ? x k ? ?
?

?

? x ? k? ?

?

? ,k ? Z?. 4 ?

18 解:设 A、B 两地的间隔为 S 千米,则回收三种运输器材运输(含装卸)进程中的用度 和时刻可用下表给出: 运输器材 途中及装卸用度 途中时刻 汽车 火车 飞机 8S+1000 4S+2000 16S+1000
S 50 S 100 S 200 ? 2 ? 4 ? 2

别离用 F1,F2,F3 暗示用汽车、火车、飞机运输时的总支出,则有 F1=8S+1000+( F2=4S+2000+(
S 50 S 100 S 200 1600 7 ? 2 )×300=17.5S+1600.???????????6 分 ? 4 )×300=7S+3200,?????????????4 分 ? 2 )×300=14S+1600,?????????????2 分

F3=16S+1000+(

∵S>0,∴F1<F3 恒创立.?????????????????????7 分 而 F1–F2<0 的解为 S ? F2–F3<0 的解为 S ? 则, (1)当 S ?
1600 7 1600 7

,??????????????????8 分

3200 21

,???????????????????9 分

(千米)时,F1<F2,F1<F3,此时回收汽车较好;??

?????????????????????????????10 分 (2)当 S ? (千米)时,F1=F2<F3,此时回收汽车或火车较好;?

?????????????????????????????11 分

(3)当 S ?

1600 7

(千米)时,F1>F2,并满意 F3>F2,此时回收火车较好;

?????????????????????????????12 分 19. (1) 解: Q 为侧棱 P C 中点时,初中数学 , B Q // 平面 P A D .证明如下: 当 有 如图, P D 的中点 E , 取 连 AE 、 EQ .
? Q 为 PC 中 点 , 则 EQ 为 ?PCD 的 中 位 线 ,

∴ E Q // C D 且 E Q ?

1 2

CD .

? A B // C D 且 A B ?

1 2

C D ,∴ E Q // A B 且 E Q ? A B ,∴四边形 A B Q E 为平行四边形,

则 B Q // A E . ∵ B Q ? 平面 P A D , A E ? 平面 P A D , ∴ B Q // 平面 P A D . (2) 证:∵ P A ? 底面 A B C D ,∴ P A ? C D . ∵ A D ? C D , P A ? A D ? A ,∴ C D ? 平面 P A D . ∵ A E ? 平面 P A D ,∴ C D ? A E . ∵ P A ? A D , E 为 P D 中点,∴ A E ? P D . ∵ C D ? P D ? D ,∴ A E ? 平面 P C D . ∵ B Q // A E ,∴ B Q ? 平面 P C D . ∵ B Q ? 平面 P B C ,∴平面 P B C ? 平面 P C D . (3) 解法一:设平面 P A D ? 平面 P B C ? l . ∵ B Q // 平面 P A D , B Q ? 平面 P B C ,∴ B Q // l . ∵ B Q ? 平面 P C D , l ? 平面 P C D , l ?P ,P ? ∴ ∴ Dl C
1 2

z
l P E D Q

C

A x

B

y

.故 ? D P C 就是平面 P A D 与
P D设 .

平 面 P B C 所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 . ∵ C D ? 平 面 P A D , ∴ C D?
PA ? AB ? AD ? CD ? a




PD PC ?

PD ?

PA ? AD
2

2

?

2a



PC ?

CD ? PD
2

2

?
3 3

6 a ,故 cos ? D P C ?

3 3

.∴平面 P A D 与平面 P B C 所成锐

二面角的余弦值为

.

解法二:如图成立直角坐标系,设 P A ? A B ? A D ? 1, C D ? 2 ,

??? ? ??? ? A (0 , 0 , 0 ) , B (0,1, 0 ), C ( ? 1, 2, 0 ), P (0, 0,1) ,则 P B ? (0,1, ? 1) , B C ? ( ? 1,1, 0 ) .设平面 ? P B C 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ??? ? ? ? n ?P B ? 0 ?y? z ? 0 ? ? ? ? x ? y ? z ,取 n ? (1,1,1) . 由 C D ? 平面 P A D , 由 ? ? ???? ?? x ? y ? 0 ? n ?B C ? 0 ? ??? ? A B // C D ,知 A B ? 平面 P A D ,∴平面 P A D 的法向量为 A B ? (0 ,1, 0 ) . 设所求锐二 ??? ? ? A B ?n 1 3 ? 面角的巨细为 ? ,则 c o s ? ? ??? ? ? . ∴所求锐二面角的的余弦值为 ? 3 1? 3 AB ? n

3 3

.
k

20. (1) 证:由题意 f ( a n ) ? 4 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 2 ,即 log

a n ?2 n ?2 ,∴ a n ? k

2n?2

,∴

a n ?1 an
2

?

k

2 ( n ?1) ? 2 2n?2

k

? k .∵常数 k ? 0 且 k ? 1 , k 为非零常数,高中数学, ∴ ∴数列 ? a n ? 是以 k 为首项,
2
2 4

k 为公比的等比数列.

(2)

解 : 由 (1) 知 , b n ? a n f ( a n ) ? k
n ?1

2n?2

? (2n ? 2)

, 当 k ?

2

时 ,

bn ? ( 2 n ? 2 ) ? 2

? ( n ? 1) ? 2
4

n?2

.
5 n?2

∴ S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2
3


n?3

① . ②

2Sn ?

2?2 ? 3?2 ?? ? n?2
4 5

n?2

? ( n ? 1) ? 2

②-①,得 S n ? ? 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 n ? 3
? ?2 ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 3 4 5 n?2

) ? ( n ? 1) ? 2
n?3

n?3



Sn ? ?2 ?
3

2 (1 ? 2 )
3 n

1? 2

? ( n ? 1) ? 2

n?3

? n?2

.
lg k ,要使 c n ? c n ? 1 对统统 n ? N 创立,
*

(3) 解:由(1)知, c n ? a n lg a n ? ( 2 n ? 2 ) ? k
2 2
*

2n?2

即 ( n ? 1) lg k ? ( n ? 2 ) ? k ? lg k 对 一 切 n ? N * 成 立 . ①
? n ?1 ? , ? ? n ? 2 ? m in

当 k ? 1 时 , l gk ? 0,
2

n ? 1 ? ( n ? 2 ) k 对统统 n ? N 恒创立;② 当 0 ? k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? ( n ? 2 ) k 对
* 统统 n ? N 恒创立,只需 k ? ?

2



n ?1 n?2

? 1?

1 n?2

单调递增, ∴当 n ? 1 时,?

2 ? n ?1 ? ? ? 3 ? n ? 2 ? m in

2 ∴k ?

2 3

,且 0 ? k ? 1 , ∴

0 ? k ?

6 3

.
6 3 ) ? (1, ? ? ) 满意前提.
1 2

综上所述,存在实数 k ? ( 0 ,

21. (1) 解 : ∵ M N ? 8 , ∴ a ? 4 , 又 ∵ | P M |? 2 | M F | , ∴ e ?
c ? 2 , b
2

, ∴

?

a ? c
2 2

?, 1 ∴椭圆的尺度方程为 2

x

2

?

y

2

16

12

? 1 . (2) 证: AB 的斜率为 0 时, 当

显然 ? A F M ? ? B F N ? 0 ,满意题意,当 AB 的斜率不为 0 时,设 AB 方程为 x ? m y ? 8 ,
2 2 代 入 椭 圆 方 程 整 理 得 : (3 m ? 4 ) y ? 4 8 m y ? 1 4 4 ? 0 .

? ? 576(m ? 4) ,
2

yA ? yB ?

48m 3m ? 4
2


? yB xB ? 2
? m yA
A

yA yB ?

144 3m ? 4
2


6 ?y A ? m (y


)
A

k AF ? k BF ?

yA xA ? 2

?6

? y

(

yB ?
B

m

B

? 6

?6

?

?

2m y A yB ? 6( y A ? yB ) ( m y A ? 6 )( m y B ? 6 )

, 2m y A yB ? 6( y A ? yB ) ? 2m ? 而
? ? B F N.

144 3m
2

?4

?6?

48m 3m
2

?4

? 0

∴ k AF ? k BF ? 0 , 从 而 ? A F M ?A F M ? ? B F N . 3) 解 :

综合可知:对付恣意的割线 PAB ,恒有
72 m ?4
2 2

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?

1 2

PF ? yB ? yA ?

3m ? 4







S ?ABF ?

72
2

m ?4
2

3( m ? 4 ) ? 1 6

?
2

72 3 m ?4 ?
2 21 3

16 m ?4
2

?

72 2 3 ?1 6

? 3 3

, 当 且 仅 当

3 m ?4 ?
2

16 m ?4
2

,即 m ? ?

(此时得当于 ?

? 0

的前提)取到等号.∴△ABF 面

积的最大值是 3 3 . 22. (1) 解: f ? ( x ) ? ln x ? 1 ( x ? 0 ) , f ? ( x) ?0 , x ? 令 得 当 x ? ( , ? ? ) 时 , f ? ( x )?
e
2

1 e

.∵当 x ? ( 0 , ) 时, f ? ( x ) ? 0 ;
e
i

1

1

, 0 ∴ 当 x ?
1 x ?

1 e

时 , f (x m )
2

? n

1 e

1 1 . l n ? ? e e

(2)

F ( x ) ? a x ? ln x ? 1 ( x ? 0 ) , F ? ( x ) ? 2 a x ?

2ax ? 1 x

( x ? 0) .

① 当 a ? 0 时,恒

有 F ? ( x ) ? 0 , F ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上 是 增 函 数 ;
2 a x ? 1 ? 0, 解得 0 ? x ?
2

② 当 a ? 0 时 , 令 F ?( x ) ? 0 , 得
? 1 2a 1 2a ) 上单调递

?

1 2a

2 ; 令 F ? ( x ) ? 0 , 2 a x ?1 ?0 , 得 解得 x ?

. 综

上,当 a ? 0 时, F ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数; 当 a ? 0 时, F ( x ) 在 ( 0 , ? 增,在 ( ?
1 2a
x 2 ? x1 ln x 2 ? ln x1

, ? ? ) 上 单 调 递 减 . (3) 证 : k ?

f ? ( x 2 ) ? f ? ( x1 ) x 2 ? x1

?

ln x 2 ? ln x 1 x 2 ? x1

.

要证

x2
x1 ? 1 k ? x 2 ,即证 x1 ?

?1 x2 x1 ? x2 x1

? x 2 ,等价于证 1 ?

x1 ln

,令 t ?

x2 x1

,则只要证

1?

t ?1 ln t

? t , 由 t ? 1 知 ln t ? 0 , 故 等 价 于 证 ln t ? t ? 1 ? t ln t ( t ? 1)

(*).

① 设 ∴ 设 ∴

1 1 则 t 1 g ( t ) ? t ? 1 ? ln t ( t ? 1) , g ? ( ) ? ? ? 0( t ?) t

, g ( t ) 在 [1, ? ? ) 上是增函数, 故 ② , h ( t ) 在 [1, ? ? ) 上是增函数, 故
? l n t t( ? . 1 )

当 t ? 1 时 , g ( t? )

? 1? t

l n? t

g (, 即 t 0 1 ? ) 1 ?

则 () ? ( ) h ( t ) ? t ln t ? ( t ? 1)( t ? 1) , h ?t n t 0? t1 ? l

当 t ? 1 时, h ( t ) ? t ln t ? ( t ? 1) ? h (1) ? 0 ,即 t ? 1 ? t ln t ( t ? 1) .由①②知(*)创立,得证.



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